Question

13．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，连接AO并延长，交PB的延长线于点C，连接PO，交⊙O于点D．
（1）求证：PO平分∠APC；
（2）连接DB，若∠C=30°，求证：DB∥AC．

Answer 1

分析 （1）连接OB，根据角平分线性质定理的逆定理，即可解答；
（2）先证明△ODB是等边三角形，得到∠OBD=60°，再由∠DBP=∠C，即可得到DB∥AC．

解答 解：（1）如图，连接OB，

∵PA，PB是⊙O的切线，
∴OA⊥AP，OB⊥BP，
又OA=OB，
∴PO平分∠APC；

（2）∵OA⊥AP，OB⊥BP，
∴∠CAP=∠OBP=90°，
∵∠C=30°，
∴∠APC=90°-∠C=90°-30°=60°，
∵PO平分∠APC，
∴∠OPC=$\frac{1}{2}$∠APC=$\frac{1}{2}×60°$=30°，
∴∠POB=90°-∠OPC=90°-30°=60°，
又OD=OB，
∴△ODB是等边三角形，
∴∠OBD=60°，
∴∠DBP=∠OBP-∠OBD=90°-60°=30°，
∴∠DBP=∠C，
∴DB∥AC．

点评 本题考查了切线的性质，角平分线的判定，等边三角形的判定和性质，解本题的关键是判断出△ODB是等边三角形．