Question

【题目】已知：△ABC，点M是平面上一点，射线BM与直线AC交于点D，射线CM与直线AB交于点E．过点A作AF∥CE，AF与BC所在的直线交于点F．

（1）如图1，当BD⊥AC，CE⊥AB时，写出∠BAD的一个余角，并证明∠ABD＝∠CAF；

（2）若∠BAC＝80°，∠BMC＝120°．

①如图2，当点M在△ABC内部时，用等式表示∠ABD与∠CAF之间的数量关系，并加以证明；

②如图3，当点M在△ABC外部时，依题意补全图形，并直接写出用等式表示的∠ABD与∠CAF之间的数量关系．

Answer 1

【答案】(1)∠ABD等(答案不唯一)，证明见解析；（2）①∠ABD+∠CAF=40°,证明见解析；

②∠CAF-∠ABD= 40°.

【解析】

(1)根据余角的定义写出即可；根据同角的余角相等得到∠ABD=∠ACE，再由平行线的性质得到∠ACE=∠CAF,从而得出结论；

(2) ①由∠BMC是△MDC的外角可得∠BMC=∠MDC+∠MCD，又∠MDC是△ABD的外角可得∠MDC=∠BAC+∠ABD，根据平行线的性质可得∠MCD=∠CAF，则证得∠BMC=∠BAC+∠ABD+∠CAF，代入数值计算即可得出结论；

②方法同①.

（1）∵BD⊥AC，CE⊥AB，

∴∠ABD+∠BAC= 90° ， ∠ACE+∠BAC= 90° ，

∴∠ABD=∠ACE，

又∵AF∥CE，

∴∠ACE=∠CAF，

∴∠ABD=∠CAF.

(2)①∠ABD+∠CAF=40°，理由为：

∵∠BMC是△MDC的外角

∴∠BMC=∠MDC+∠MCD，

∵∠MDC是△ABD的外角，

∴∠MDC=∠BAC+∠ABD，

∵AF∥CE，

∴∠MCD=∠CAF，

∴∠BMC=∠BAC+∠ABD+∠CAF，

∵∠BAC＝80°，∠BMC＝120°，

∴120°=80°+∠ABD+∠CAF，

∴∠ABD+∠CAF=40°.

②补全图形见下图，∠CAF-∠ABD= 40°

∵∠BEC是△AEC的外角

∴∠BEC=∠BAC+∠ACE，

∵∠BEC是△BME的外角，

∴∠BEC=∠BME+∠ABD，

∴∠BAC+∠ACE=∠BME+∠ABD，

∵AF∥CE，

∴∠ACE=∠CAF，

∴∠BAC+∠CAF=∠BMC+∠ABD，

∵∠BAC＝80°，∠BMC＝120°，

∴80°+∠CAF=120°+∠ABD，

∴∠CAF-∠ABD= 40°