Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，点C、D在圆上，＝，过点C作CE⊥AD延长线于点E．

（1）求证：CE是⊙O的切线；

（2）若BC＝3，AC＝4，求CE和AD的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）CE=，AD=.

【解析】

（1）连接OC，OA＝OC，则∠OCA＝∠OAC，再由已知条件，可得∠OCE＝90°；

（2）由CE是⊙O的切线，得∠DCE＝∠CAE＝∠CAB，从而求得△CDE∽△ABC，△ACE∽△ABC，根据相似三角形对应边成比例即可求得．

解：（1）连接OC，

∵OA＝OC，

∴∠OCA＝∠OAC，

∵＝，

∴DC＝BC，

∴∠BAC＝∠CAD，

∴∠OCA＝∠CAD，

∴OC∥AE，

∵∠E＝90°

∴∠OCE＝90°，

∴OC⊥CE，

∴CE是⊙O的切线；

（2）∵CE是⊙O的切线，

∴∠DCE＝∠CAE＝∠CAB，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∴∠ACB＝∠E，

∴△CDE∽△ABC，△ACE∽△ABC，

∴＝＝， ＝，

∵BC＝3，AC＝4，

∴AB＝5，CD＝3，

∴＝，＝，＝，

∴CE＝，ED＝，AE＝，

∴AD＝AE﹣ED＝．