Question

【题目】已知△ABC为等边三角形， M为三角形外任意一点，把△ABM绕着点A按逆时针方向旋转60°到△CAN的位置.

(1)如图①，若∠BMC=120°，BM=2，MC=3.求∠AMB的度数和求AM的长.

(2)如图②，若∠BMC = n°，试写出AM、BM、CM之间的数量关系，并证明你的猜想.

Answer 1

【答案】（1）60°,5;（2）AM=BM+CM

【解析】

（1）由旋转性质可得△ABM≌△CAN，根据全等三角形的性质和等边三角形的判定可得△AMN是等边三角形,继而求出∠AMN=60°，根据∠BMC=120°,∠AMN=∠AMC=60°，继而求出∠AMB；AM =MN= MC+ CN.

（2）

解∵把△ABM绕着点A按逆时针方向旋转60到△ACN的位置，

所以∠NAM=60°，

因为AN=AM，

所以△AMN是等边三角形,

所以∠AMN=60°，

因为∠BMC=120°,∠AMN=∠AMC=60°，

所以∠AMB=∠BMG-∠AMG=120°-60°=60°，

∵把△ABM绕着点A按逆时针方向旋转60°到△ACN的位置，

所以△ABM≌△CAN,

所以BM=CN=2，

△AMN是等边三角形

AM =MN= MC+ CN= 3+2=5,

故答案为60°,5;

（2）AM=BM+CM,

∵把△ABM绕着点A按逆时针方向旋转60°到△ACN的位置，

所以△ABM≌△CAN,

因为AN=AM，

所以△AMN是等边三角形,

所以∠AMN=60°，

因为∠BMC=n°,∠AMN=∠AMC=60°，

所以∠MNA=∠MAN，

所以MA=MN，

所以AM=BM+CM.