Question

【问题发现】
（1）如图①，△ABC为直角三角形，∠B=90°，P是边AB上任意一点（不写A、B重合），请你在△ABC的边长找另一点Q，使得S_△BCP=S_△BCQ，并简要说明方法；
（2）如图②，△ABC为等腰三角形，∠B=90°，AB=10，F是边AC上任意一点（不与A、C重合），EF⊥AB，FG⊥BC，试判断图中△AEF、△CGF、四边形BEFG的具体形状；（直接写出答案）．
【问题探究】
（3）在（2）的条件下研究：F在边长AC上移动时，四边形BEFG的周长是否发生改变，并说明理由；（不妨设AE=x）
（4）在（2）的条件下研究：F在边AC上移动时，四边形BEFG的面积是否存在最大值？若存在，求出来；若不存在，说明理由．（提示：我们知道完全平方式具有非负性，即（a+b）²≥0，显然（a+b）²有最小值．例如：对于y=x²+2x+2=（x+1）²+1≥1，那么y有最小值1）．

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：

分析：（1）过点P作PQ∥BC，交AC于Q，连接PQ即可；
（2）根据EF⊥AB，FG⊥BC，∠B=90°，可直接得出四边形BEFG是长方形；
（3）先求出AE=EF，再根据四边形BEFG的周长=2（EF+BE）=2（AE+BE）=2AB得出四边形BEFG的周长总是20，不会发生改变；
（4）设AE=x（0＜x＜10），则BE=10-x，EF=x，得出S_{长方形BEFG}=BE•EF=-（x-5）²+25，从而得出当x=5时，有最大值25．

解答：解：（1）过点P作PQ∥BC，交AC于Q，连接PQ，
∵PQ∥BC，
∴△BCQ和△BCP同底等高，
∴S_△BCP=S_△BCQ；
（2）∵EF⊥AB，FG⊥BC
∴∠BEF=90°，∠BGF=90°，
∵∠B=90°，
∴四边形BEFG是长方形；
（3）F在边长AC上移动时，四边形BEFG的周长不会发生改变．理由如下：
∵∠B=90°，AB=BC，
∴∠A=∠C=45°，
∵EF⊥AB，
∴∠A=∠AFE=45°，
∴AE=EF，
∴四边形BEFG的周长=2（EF+BE）=2（AE+BE）=2AB=2×10=20，
∴F在边长AC上移动时，四边形BEFG的周长总是20，不会发生改变；
（4）由（3）可得知：AE=EF，AB=10
设AE=x（0＜x＜10），则BE=10-x，EF=x
∵S_{长方形BEFG}=BE•EF=x（10-x）=10x-x²=-（x-5）²+25，
∴当x=5时，有最大值，
S_最大值=25
答：F在边AC上移动时，四边形BEFG的面积有最大值，最大值是25．

点评：此题考查了相似形综合，用到的知识点是三角形的面积、二次函数的最值、矩形的判定与面积、等腰直角三角形，关键是根据题意画出图形，列出表示长方形面积的式子．