题目内容
8．在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动．（1）如图①，当点E从D向C，点F从C向B移动时，连接AE和DF交于点P，请你写出AE与DF的位置和数量关系，并说明理由；
（2）如图②和图③，当E，F分别移动到边DC，CB的延长线及反向延长线上时，连接AE和DF，（1）中的结论还成立吗？（请你直接回答“成立”或“不成立”，不需证明）
（3）如图④，当E，F分别在边DC，CB上移动时，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，因此CP的大小也在变化．如果AD=2，试求出线段CP的最小值．
分析 （1）AE=DF，AE⊥DF．先证得△ADE≌△DCF．由全等三角形的性质得AE=DF，∠DAE=∠CDF，再由等角的余角相等可得AE⊥DF；
（2）AE=DF，AE⊥DF．根据四边形ABCD是正方形，于是得到AD=DC，∠ADE=∠DCF=90°，DE=CF，根据全等三角形的判定推出△ADE≌△DCF，求得AE=DF，∠DAE=∠CDF，由于∠CDF+∠ADF=90°，∠DAE+∠ADF=90°，于是得到结论；
（3）由于点P在运动中保持∠APD=90°，所以点P的路径是一段以AD为直径的弧，设AD的中点为Q，连接QC交弧于点P，此时CP的长度最小，再由勾股定理可得QC的长，再求CP即可．
解答 解：（1）AE=DF，AE⊥DF．
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠ADC=∠C=90°．
在△ADE和△DCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=DC}\\{∠ADC=∠C}\\{DE=CF}\\{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△DCF（SAS）．
∴AE=DF，∠DAE=∠CDF，
由于∠CDF+∠ADF=90°，
∴∠DAE+∠ADF=90°．
∴AE⊥DF；
（2）图②，AE=DF，AE⊥DF．
同（1）证明△ADE≌△DCF，
∴AE=DF，AE⊥DF．
图③，AE=DF，AE⊥DF．
理由：由（1）同理可证AE=DF，∠DAE=∠CDF
延长FD交AE于点G，
则∠CDF+∠ADG=90°，
∴∠ADG+∠DAE=90°．
∴AE⊥DF；
（3）如图④
由于点P在运动中保持∠APD=90°，
∴点P的路径是一段以AD为直径的弧，
设AD的中点为Q，连接QC交弧于点P，此时CP的长度最小，
在Rt△QDC中，QC=$\sqrt{C{D}^{2}+Q{D}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴CP=QC-QP=$\sqrt{5}-1$．
点评 本题考查了正方形的性质，勾股定理，圆周角定理，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，用了分类讨论思想，难度偏大．
数学奥赛暑假天天练南京大学出版社系列答案
如图11，小强在纸上画出了两个三角形：△AOB与△DOC，点A，O，C在同一条直线上，点B，O，D在同一条直线上，且AB=DC，AC=DB．当他连接AD，BC后，得出了一个猜想：AD∥BC．你认为他的猜想正确吗？请说明理由．| A． | 2160（1-x）2=1500 | B． | 1500（1+x）2=2160 | ||
| C． | 1500（1-x）2=2160 | D． | 1500+1500（1+x）+1500（1+x）2=2160 |
如图，函数y1=k1x+b的图象与函数y2=$\frac{{k}_{2}}{x}$（x＞0）的图象交于A、B两点，与y轴交于C点，已知A点坐标为（2，1），C点坐标为（0，3）．| A． | 1 | B． | 5 | C． | -5 | D． | -1 |
| A． | 线段AB和线段BA是同一条线段 | |
| B． | 线段和射线都是直线的一部分 | |
| C． | 直线比射线长一倍 | |
| D． | 将一条射线反向无限延长可以得到一条直线 |