Question

12．如图，已知A（-4，$\frac{1}{2}$），B（n，2）是一次函数y=kx+b与反比例函数y=$\frac{m}{x}$（m＜0）图象的两个交点，AC⊥x轴于C，BD⊥y轴于D．
（1）求m、n的值及一次函数关系式；
（2）根据图象直接回答：在第二象限内，当x满足条件：-4＜x＜-1时，一次函数大于反比例函数的值．
（3）P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P坐标．

Answer 1

分析 （1）根据反比例函数y=$\frac{m}{x}$图象过点（-4，$\frac{1}{2}$），求得m=-2，由于点B（n，2）也在该反比例函数的图象上，得到n=-1，设一次函数的解析式为y=kx+b，解方程组即可得到一次函数的解析式；
（2）根据图象即可得到结论；
（3）连接PC、PD，如图，设P（x，$\frac{1}{2}$x+$\frac{5}{2}$），根据△PCA和△PDB面积相等得到方程组，即可得到结论；

解答 解：（1）∵反比例函数y=$\frac{m}{x}$图象过点（-4，$\frac{1}{2}$），∴m=-4×$\frac{1}{2}$=-2，
∵点B（n，2）也在该反比例函数的图象上，∴2n=m=-2，∴n=-1，
设一次函数的解析式为y=kx+b，
由y=kx+b的图象过点（-4，$\frac{1}{2}$），（-1，2），则
$\left\{\begin{array}{l}{-4k+b=\frac{1}{2}}\\{-k+b=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$     一次函数的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{5}{2}$，

（2）根据图象知-4＜x＜-1，一次函数大于反比例函数的值；
故答案为：-4＜x＜-1；

（3）连接PC、PD，如图，设P（x，$\frac{1}{2}$x+$\frac{5}{2}$），由△PCA和△PDB面积相等得：
$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$（x+4）=$\frac{1}{2}×$|-1|×（2-$\frac{1}{2}$x-$\frac{5}{2}$），
解得：x=-$\frac{5}{2}$，y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{5}{2}$=$\frac{5}{4}$，
∴P点坐标是（-$\frac{5}{2}$，$\frac{5}{4}$）．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．也考查了待定系数法求函数解析式以及观察函数图象的能力．