Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线交y轴于点B（0，3），交x轴于A，C两点，C点坐标（4，0），点P是BC上方抛物线上一动点(P不与B，C重合)．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点P到直线BC距离是，求点P的坐标；

（3）连接AP交线段BC于点H，点M是y轴负半轴上一点，且CH=BM，当AH+CM的值最小时，请直接写出点M的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2），；（3）点M坐标（0，）．

【解析】

（1）将点B（4，0），C（0，3）代入原方程得出b、c的值即可求得；

（2）过点P作PE⊥BC于E，则PE=，过点P作PG∥BC于G，则PG=，设P点坐标为，则G点坐标为，即PG=，整理得，，解得或，即可求得点P的坐标；

（3）在Rt△BOC中，∠BOC=90°，可得BC=5，过点C作CH⊥x轴于N，使CN=BC；连接AN交BC于H交抛物线于点P，则点P即为所求，在射线CB上截取CH=BM，因为CN∥y轴，可得∠NCH=∠CBM，又因为CN=BC，可证△BMC≌△CHN(SAS)，即可得到HN=CM，AH+CM=AH+NH，所以当A，N，H三点共线时点P即为所求，AH+CM最小，设AH表达式为，把A（-1，0），N（4，5）代入上式，求得解析式为y=x+1，联立方程组，解得，得到H点坐标是（），CH=BM=，即可得到点M坐标为（0，）；

（1）把B（4，0），C（0，3）代入原方程得，，

解得：，

∴；

（2）过点P作PE⊥BC于E，则PE=，

过点P作PG∥BC于G，则PG=，

设P点坐标为，则G点坐标为，

∴PG=，

即，

解得或，

∴P；

（3）∵在Rt△BOC中，∠BOC=90°，

∴BC=，

过点C作CH⊥x轴于N，使CN=BC；连接AN交BC于H交抛物线于点P，则点P即为所求，

在射线CB上截取CH=BM，

∵CN∥y轴，

∴∠NCH=∠CBM，

∵CN=BC，

∴△BMC≌△CHN(SAS)，

∴HN=CM，

∴AH+CM=AH+NH，

∴当A，N，H三点共线时点P即为所求，AH+CM最小，

设AH表达式为，

把A（-1，0），N（4，5）代入上式，

，

解得，

∴y=x+1，

联立方程组

解得，

∴H点坐标是（），CH=BM=，

点M坐标（0，）；