Question

如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF． 解答下列问题：
（1）如果AB=AC，∠BAC=90°，
①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF，BD之间的位置关系为 _________ ，数量关系为 _________ ．
②当点D在线段BC的延长线时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？
（2）如果AB⊥AC，∠BAC≠90°，点D在线段BC上运动． 试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C，F重合除外）画出相应图形，并说明理由．（画图不写作法）
（3）若AC=4，BC=3，在（2）的条件下，设正方形ADEF的边DE与线段CF相交于点P，求线段CP长的最大值．

Answer 1

解：（1）①CF与BD位置关系是垂直，数量关系是相等
②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立
由正方形ADEF得AD=AF，∠DAF=90度
∵∠BAC=90°，∴∠DAF=∠BAC，∴∠DAB=∠FAC
又AB=AC，∴△DAB≌△FAC，
∴CF=BD   ∠ACF=∠ABD
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=45°，
∴∠ACF=45°
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°．
即CF⊥BD．
（2）当∠BCA=45°时，CF⊥BD（如图）
理由是：过点A作AG⊥AC交BC于点G，
∴AC=AG可证：△GAD≌△CAF
∴∠ACF=∠AGD=45°∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°，
即CF⊥BD．
（3）当具备∠BCA=45°时 过点A作AQ⊥BC交BC于点Q，（如图）
∵DE与CF交于点P时，
∴此时点D位于线段CQ上
∵∠BCA=45°，可求出AQ=QC=4．
设CD=x，
∴DQ=4+x
容易说明△AQD∽△DCP，
∴，
∴
∴CP=+x，
∵0＜x≤3，
∴当x=3时，CP有最大值5.25．