Question

已知二次函数y=

1

2

x2+bx+c的图象经过点A（-3，6）、B（m，0）、C（3，0），并且m＜3，D为抛物线的顶点．
（1）求b，c，m的值；
（2）设点P是线段OC上一点，点O是坐标原点，且满足∠PDC=∠BAC，求点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）把A（-3，6）、C（3，0）代入二次函数y=

1

2

x2+bx+c得，2c-6b=3①，2c+6b=-9②，解由①②组成的方程组得，b=-1，c=-

3

2

；得到抛物线的解析式为：y=

1

2

x²-x-

3

2

，令y=0，则

1

2

x²-x-

3

2

=0，解得，x₁=3，x₂=-1，而m＜3，所以m=-1，
（2）通过D点坐标为（1，-2），C（3，0），得到∠PCD=45°；由A（-3，6）、C（3，0），得∠ACB=45°；加上∠PDC=∠BAC，得到△ABC∽△DPC，则BC•DC=AC•PC，而BC=4，AC=6

2

，DC=2

2

，得到PC=

4

3

，则OP=3-

4

3

=

5

3

，即可得到P点坐标．

解答：解：（1）把A（-3，6）、C（3，0）代入解析式得，2c-6b=3①，2c+6b=-9②，
解由①②组成的方程组得，b=-1，c=-

3

2

；
抛物线的解析式为：y=

1

2

x²-x-

3

2

，
令y=0，则

1

2

x²-x-

3

2

=0，解得，x₁=3，x₂=-1，而m＜3，所以m=-1，
所以b=-1，c=-

3

2

，m=-1；

（2）由B（-1，0），C（3，0），得对称轴为直线x=1，所以D点坐标为（1，-2），
∴sin∠PCD=

2

2

∴∠PCD=45°，
由A（-3，6）、C（3，0），得∠ACB=45°；
∵∠PDC=∠BAC，
∴△ABC∽△DPC，
∴BC•DC=AC•PC，
而BC=4，AC=6

2

，DC=2

2

，
∴PC=

4

3

，则OP=3-

4

3

=

5

3

，
所以P点坐标为（

5

3

，0）．

点评：本题考查了用待定系数法确定二次函数的解析式．设二次函数的解析式为y=ax²+bx+c，通过解方程组确定a，b，c的值．也考查了点在图象上则点的坐标满足图象的解析式、抛物线与x轴的交点坐标以及顶点坐标、三角形相似的判定和性质．