Question

16．（1）若一个三角形的三边长之比为5：12：13，且周长为60，则它的面积是120；
（2）若三角形的三边长分别为x+1，x+2，x+3，当x=2时，此三角形是直角三角形；
（3）边长为7，24，25的△ABC内有一点P到三边距离相等，则这个距离为3．

Answer 1

分析 （1）根据勾股定理的逆定理和三角形的面积公式即可得到结论；
（2）根据勾股定理的逆定理即可得到结论；
（3）首先根据三边长确定三角形是直角三角形，再根据题意画出图形，连接AP，BP，CP，根据直角三角形的面积公式即可求得该距离的长．

解答 解：（1）∵5²+12²=13²，
∴此三角形是直角三角形，
设三边为5x，12x，13x，
则5x+12x+13x=60，
x=2，
5x=10，12x=24，13x=26，
三角形的面积为10×24×$\frac{1}{2}$=120，
故答案为：120；

（2）当（x+1）²+（x+2）²=（x+3）²，即x=2（负数舍去）时，三角形是直角三角形，
故答案为：2；

（3）解：∵7²+24²=25²，
∴△ABC是直角三角形，
根据题意画图，如图所示：
连接AP，BP，CP．
设PE=PF=PG=x，
S_△ABC=$\frac{1}{2}$×AB×CB=84，
S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB×x+$\frac{1}{2}$AC×x+$\frac{1}{2}$BC×x=$\frac{1}{2}$（AB+BC+AC）•x=$\frac{1}{2}$×56x=28x，
则28x=84，
x=3．
故答案为：3．

点评 此题主要考查了角平分线的性质，勾股定理逆定理，以及三角形的面积，注意构造辅助线，则直角三角形的面积有两种表示方法：一是整体计算，即两条直角边乘积的一半；二是等于三个小三角形的面积和，即 $\frac{1}{2}$（AB+AC+BC）x，然后即可计算x的值．