题目内容
【题目】如图，正方形
的边长为6，点
是
边的中点，连接
与对角线
交于点
，连接
并延长，交
于点
，连接交
于点
，连接
。以下结论：①
；②
；③
；④
。其中正确的结论是（ ）
A.1B.2C.3D.4
【答案】D
【解析】
根据正方形对角线的性质及全等三角形的性质求证
,从而判断①；延长DE,AB相交于点M,根据条件证出△DCH∽△MFH，从而判断②；根据勾股定理及三角形面积公式求得
，然后根据△DCG∽△BFG求得
，从而判断④，过点H作HK⊥AB，利用勾股定理和相似三角形的性质求得
，
，求得
，从而判断③.
解：由题意可知：
又∵正方形ABCD中，AB=CB,BG=BG
∴△ABG≌△CBG
∴
又∵点E是BC的中点，
∴CE=BE
又∵正方形ABCD中，AB=CD,
∴△DCE≌△ABE
∴
∵
∴
,即①
正确；
如图：延长DE,AB相交于点M
∵在正方形ABCD中，点E是BC的中点，
∴易证△DCE≌△MBE
∴DC=BM=6
又由①正确
可得
又∵
∴△DCE≌△CBF
∴BF=CE=3
∵DC∥AB
∴△DCH∽△MFH
∴
∴②
正确；
由题意可知CE=3,DC=6,∠DCE=90°
∴
又根据三角形面积公式可得：
∴
由△DCE≌△CBF
∴CF=DE
∵DC∥AB
∴△DCG∽△BFG
∴
,即
∴
∴，④正确.
过点H作HK⊥AB
由易证可知
∴
,即
∴
同理：
,即
∴
∴
∴在Rt△AHK中，
∴③
正确；正确的共4个，
故选：D.
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