Question

15．若两个二次函数图象的顶点，开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”．
（1）请写出两个为“同簇二次函数”的函数；
（2）已知关于x的二次函数y₁=2x²-4mx+2m²+1和y₂=ax²+bx+2m²+5，其中y₁的图象经过点A（1，1），y₃=y₁+y₂，若y₃与y₁为“同簇二次函数”，求函数y₂的表达式，并求出当0≤x≤3时，y₂的最大值．

Answer 1

分析 （1）写出顶点在原点，开口方向向上的两个二次函数解析式即可；
（2）先把A点坐标代入y₁可计算出m=1，则y₁=2x²-4x+3，y₂=ax²+bx+7，y₃=y₁+y₂=（a+2）²+（b-4）x+10，再求出y₁的顶点坐标，根据新定义得到二次函数y₃的顶点坐标为（1，1），利用二次函数图象上点的坐标特征和对称轴方程得a+2+b-4+10=1，-$\frac{b-4}{2（a+2）}$=1，解得a=7，b=-14，则函数y₂的表达式为y₂=7x²-14x+7，然后根据二次函数的性质求当0≤x≤3时，y₂的最大值．

解答 解：（1）二次函数y=x²和y=2x²是“同簇二次函数”；
（2）把A（1，1）代入y₁=2x²-4mx+2m²+1得2-4m+2m²+1=1，解得m=1，
则y₁=2x²-4x+3，y₂=ax²+bx+7，
所以y₃=y₁+y₂=（a+2）²+（b-4）x+10，
而y₁=2x²-4x+3=2（x-1）²+1，即二次函数y₁的顶点坐标为（1，1），
因为y₃与y₁为“同簇二次函数”，
所以二次函数y₃的顶点坐标为（1，1），
则a+2+b-4+10=1，-$\frac{b-4}{2（a+2）}$=1，解得a=7，b=-14，
所以函数y₂的表达式为y₂=7x²-14x+7，则抛物线y₂的对称轴为直线x=-$\frac{-14}{2×7}$=1，
当0≤x≤3时，x=3时，y₂的值最大，最大值=7×9-14×3+7=28．

点评 本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（-$\frac{b}{2a}$，$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$），对称轴直线x=-$\frac{b}{2a}$．