Question

【题目】已知如图，是的直径，点在上，且，点是外一点，与相切于点，连接，过点作交于点，连接交于点．

（1）求证：；

（2）求证：是的切线；

（3）若，，连接，求的长；

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）

【解析】

（1）利用平行证出△BOD∽△BAC，然后列出比例式即可求出结论；

（2）连接OC，利用SAS证出△BOM≌△COM，从而证出∠OBM=∠OMB，然后根据切线的性质即可证出结论；

（3）过点A作AE⊥PC于E，根据相似三角形的判定定理证出△DOC∽△DCM，列出比例式即可求出CD，根据勾股定理求出OC，从而求出AB，然后利用锐角三角函数求出PA、AE和CE，从而求出结论．

解：（1）∵，AB=2OB

∴△BOD∽△BAC

∴

∴；

（2）连接OC

∵

∴∠BOM=∠BAC

∵

∴∠BOC=2∠BAC=2∠BOM

∴∠BOM=∠COM

在△BOM和△COM中

∴△BOM≌△COM

∴∠OBM=∠OMB

∵与相切于点，

∴∠OBM=90°，

∴∠OMB=90°

∴是的切线；

（3）过点A作AE⊥PC于E

∵AB为直径

∴∠ACB=∠APB=90°

∵，

∴∠CDM=∠ACB =90°，∠ODC=90°

∵∠OCM=90°，

∴∠DOC＋∠OCD=90°，∠DCM＋∠OCD=90°

∴∠DOC=∠DCM

∴△DOC∽△DCM

∴

即

解得：CD=12

根据勾股定理可得OC=

∴AB=2OC=30

由（1）知AC=2OD=18

∵

∴△PAB为等腰直角三角形，

∴∠PAB=∠PBA=45°，

∴∠ACP=∠PBA=45°，PA=AB·sin∠PBA=

∴△ACE为等腰直角三角形

∴∠ECA=45°

∴CE=AE=AC·sin∠ECA=

根据勾股定理PE=

∴PC=PE＋CE=