Question

18．如图，△ABC和△DEF为直角三角形，∠ABC=∠DEF=90°，边BC、EF在同一直线上，斜边AC、DF交于点G，且BF=CD，AC=DF．求证：GF=GC．

Answer 1

分析 要证明三角形ABC和DEF全等．这两个三角形中已知的条件有一组直角，AB=DE，那么只需证得BC=EF即可得出两三角形全等的结论，已知了BF=CE，等式两边都加上FC后，就可得出BC=EF，那么这两三角形也就全等了（SAS），根据全等三角形的性质得到∠ACB=∠DFE，再根据等腰三角形的性质即可求解．

解答 证明：∵AB⊥BE，DE⊥BE，
∴∠ABC=∠DEF=90°，
∵BF=CE，
∴BC=EF，
在△ABC与△DEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=DE}\\{∠ABC=∠DEF}\\{BC=EF}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴∠ACB=∠DFE，
∴GC=GF．

点评 本题考查的是全等三角形的判定与性质．利用全等三角形来得出角相等或线段相等是解此类题的关键．