Question

【题目】如图，正方形中，，分别为，上的点，，交于点，交于点，为的中点，交于点，连接.下列结论：①；②；③；④.其中正确的结论有（ ）

A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④

Answer 1

【答案】B

【解析】

①可证△ABF≌△BEC到△BEH∽△ABF，所以∠BAF=∠BHE=90°得证．

②由题意正方形中∠ABO=∠BCO，在上面所证∠BCE=∠ABF，由△OBM≌△ONC得到ON=OM即得证．

③利用AAS证明三角形OCN全等于三角形OBM，所以BM=CN，只有H是BM的中点时，OH等于BM（CN）的一半，所以（3）错误．

④过O点作OG垂直于OH，OG交CH于G点，由题意可证得三角形OGC与三角形OHB全等．按照前述作辅助线之后，OHG是等腰直角三角形，OH乘以根2之后等于HG，则在证明证明三角形OGC与三角形OHB全等之后，CG=BH，所以④式成立．

解：∵AF=BE，AB=BC，∠ABC=∠BAD=90°，

∴△ABF≌△BEC，

∴∠BCE=∠ABF，∠BFA=∠BEC，

∴△BEH∽△ABF，

∴∠BAF=∠BHE=90°，

即BF⊥EC，①正确；

∵四边形是正方形，

∴BO⊥AC，BO=OC，

由题意正方形中∠ABO=∠BCO，在上面所证∠BCE=∠ABF，

∴∠ECO=∠FBO，

∴△OBM≌△ONC，

∴ON=OM，

即②正确；

③∵△OBM≌△ONC，

∴BM=CN，

∵∠BOM=90°，

∴当H为BM中点时，OH=BM=CN（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），

因此只有当H为BM的中点时，OH=CN，故③错误；

④过O点作OG垂直于OH，OG交CH与G点，

在△OGC与△OHB中，

故△OGC≌△OHB，

∵OH⊥OG，

∴△OHG是等腰直角三角形，

按照前述作辅助线之后，△OHG是等腰直角三角形，OH乘以之后等于HG，

则在证明三角形OGC与三角形OHB全等之后，CG=BH，所以④式成立．

综上所述，①②④正确．

故选择：B.