Question

8．在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点O，连结AO，若△OAB、△OBC、△OCA的面积比为1：1：$\sqrt{2}$，则△ABC的形状是（　　）

• A． 直角三角形
• B． 等腰三角形
• C． 等腰直角三角形
• D． 等边三角形

Answer 1

分析 根据角平分线的性质，△OAB、△OBC、△OCA的面积比为1：1：$\sqrt{2}$，由三角形面积公式可得AB：BC：CA=1：1：$\sqrt{2}$，再根据勾股定理的逆定理和等腰直角三角形的判定即可求解．

解答 解：∵在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点O，
∴△OAB、△OBC、△OCA中AB、BC、CA边上的高相等，
∵△OAB、△OBC、△OCA的面积比为1：1：$\sqrt{2}$，
∴AB：BC：CA=1：1：$\sqrt{2}$，
∴AB=BC，
∵1²+1²=（$\sqrt{2}$）²，
∴△ABC是直角三角形，
∴△ABC的形状是等腰直角三角形．
故选：C．

点评 本题考查了角平分线的性质，三角形面积，勾股定理的逆定理和等腰直角三角形的判定，关键是熟悉角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等的知识点．