Question

3．如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+3与x轴交于点B，与直线OA交于点A，反比例函数y=$\frac{k}{x}$经过点A，与直线OA的另一个交点为C，连接BC，已知tan∠AOB=2．
（1）求直线OA和反比例函数的解析式；
（2）求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法求两函数的解析式；
（2）根据面积和求△ABC的面积．

解答 解：（1）当x=0时，y=3，
∴OE=3，
当y=0时，x+3=0，
x=-3，
∴B（-3，0），
∴OB=3，
∴OB=OE=3，
∵∠BOE=90°，
∴△BOE是等腰直角三角形，
过A作AD⊥x轴于D，则△ADB也是等腰直角三角形，
∵tan∠AOB=$\frac{AD}{OD}$=2，
∴AD=2OD，
设OD=x，则AD=2x，BD=3-x，
∵AD=BD，
∴2x=3-x，
x=1，
∴A（-1，2），
设直线OA的解析式为：y=ax（a≠0），
把A（-1，2）代入得：2=-a，
a=-2，
∴直线OA的解析式为：y=-2x，
∵反比例函数y=$\frac{k}{x}$经过点A，
∴k=-1×2=-2，
∴反比例函数的解析式为：y=-$\frac{2}{x}$；

（2）由题意得：$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x}\\{y=-\frac{2}{x}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=1}\\{{y}_{1}=-2}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-1}\\{{y}_{2}=2}\end{array}\right.$，
∴C（1，-2），
∴S_△ABC=S_△AOB+S_△BOC=$\frac{1}{2}$×3×2+$\frac{1}{2}$×3×2=6．

点评 本题考查了利用待定系数法求函数的解析式、三角函数、等腰直角三角形的性质和判定、三角形面积、函数的交点问题，利用三角函数及等腰直角三角形的性质确定AD=BD，列方程是关键．