Question

如图所示，在四边形ABCD中，已知BA=AD=DC，AC≠BD，AC与BD交于点P，∠ABC+∠BCD=120°，求证：PB=PC．（提示：在解答本题时，可能用到以下结论：对角线互补的四边形内接于圆，简称四点共圆）

Answer 1

考点：四点共圆,三角形内角和定理,三角形的外角性质,等腰三角形的判定与性质,圆周角定理

专题：证明题

分析：延长BA、CD交于点E，如图1．根据“三角形内角和定理”可得∠E=60°，∠EAD+∠EDA=120°．根据“等边对等角”及“三角形的外角性质”可得∠5+∠6=60°，则有∠APD=120°，根据“对角互补的四边形内接于圆”可得E、A、P、D四点共圆，连接EP，如图2，根据圆周角定理可得∠5=∠8，∠6=∠7，从而可得∠1=∠8，∠4=∠7，根据“等角对等边”可得PE=PB，PE=PC，就可证到PB=PC．

解答：解：延长BA、CD交于点E，如图1．

∵∠ABC+∠BCD=120°，
∴∠E=180°-120°=60°，
∴∠EAD+∠EDA=180°-60°=120°．
∵BA=AD=DC，
∴∠1=∠5，∠4=∠6，
∴∠EAD=∠1+∠5=2∠5，∠EDA=∠4+∠6=2∠6，
∴∠EAD+∠EDA=2∠5+2∠6=120°，
∴∠5+∠6=60°，
∴∠APD=180°-60°=120°，
∴∠E+∠APD=180°，
∴E、A、P、D四点共圆．
连接EP，如图2．

∵E、A、P、D四点共圆，
∴∠5=∠8，∠6=∠7，
∴∠1=∠5=∠8，∠4=∠6=∠7，
∴PE=PB，PE=PC，
∴PB=PC．

点评：本题主要考查了四点共圆的判定（对角互补的四边形内接于圆）、圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、三角形的外角性质等知识，解决本题的关键是延长BA、CD交于点E，证到∠APD=120°，从而证到E、A、P、D四点共圆．