Question

9．自从北京获得2022年第24届冬季奥林匹克运动会主办权以来，某纪念章经销商预测印有“冬季奥林匹克运动会”标志的甲、乙两种纪念章能够畅销，用16500元购进了甲种纪念章，用44000元购进了乙种纪念章，由于乙种纪念章的单价是甲种纪念章单价的4倍，实际购得甲种纪念章的数量比乙种纪念章的数量多100个．
（1）求购进甲、乙两种纪念章的单价各多少元？
（2）如果要求每件商品在销售时的利润为20%，那么甲、乙两种纪念章每件的销售价各是多少元？
（3）在（2）的条件下，如果甲种纪念章的进价降低了，但售价保持不变，从而使销售甲种纪念章的利润至少提高了5%，那么此时每个甲种纪念章的进价最多是多少元？

Answer 1

分析 （1）根据题意可以列出相应的分式方程，从而可以求得购进甲、乙两种纪念章的单价；
（2）根据（1）中的结果和题意可以求得甲、乙两种纪念章每件的销售价；
（3）根据题意可以列出相应的不等式，从而可以解答本题．

解答 解：（1）设甲种纪念章的单价是x元，
$\frac{16500}{x}-100=\frac{44000}{4x}$，
解得，x=55，
经检验，x=55是原分式方程的解，
∴4x=220，
答：购进甲、乙两种纪念章的单价分别是55元、220元；
（2）由题意可得，
甲种纪念章的单价是：55（1+20%）=66（元），
乙种纪念章的单价是：220（1+20%）=264（元），
答：甲、乙两种纪念章每件的销售价分别是66元、264元；
（3）设每个甲种纪念章的进价是x元，
x（1+25%）≤66，
解得，x≤52.8，
∴此时每个甲种纪念章的进价最多是52.8元，
答：此时每个甲种纪念章的进价最多是52.8元．

点评 本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程和一元一次不等式．