Question

20．如图，P是矩形ABCD的边BC上一点．EP⊥AP，EP分别交边AC，CD于点F，E
（1）求证：△ABP∽△PCE；
（2）若P是BC中点，BC=2AB，AB=2，求PF的长．

Answer 1

分析 （1）根据矩形的性质得到∠B=∠BCD=90°，根据余角的性质得到∠BAP=∠EPC，即可得到结论；
（2）根据矩形的性质得到AB=CD，AD=BC，∠ABC=∠DCB=90°，根据已知条件得到AB=PB=PC=CD，由余角的性质得到∠APB=∠DPC=45°，推出点D，E重合，根据勾股定理得到AP=2$\sqrt{2}$，AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，通过△ADF∽△PCF，根据相似三角形的性质得到$\frac{AF}{CF}=\frac{AD}{CP}$=2，求得AF=$\frac{4\sqrt{5}}{3}$，然后又勾股定理即可得到结论．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠BCD=90°，
∵EP⊥AP，
∴∠BAP+∠APB=∠APB+∠EPC=90°，
∴∠BAP=∠EPC，
∴△ABP∽△CPE；

（2）如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC，∠ABC=∠DCB=90°，
∵P是BC中点，BC=2AB，
∴AB=PB=PC=CD，
∵EP⊥AP，
∴∠APD=90°，∴∠APB=∠DPC=45°，
∴点D，E重合，
∵AB=2，
∴BC=AD=4，
∴AP=2$\sqrt{2}$，AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵AD∥BC，
∴△ADF∽△PCF，
∴$\frac{AF}{CF}=\frac{AD}{CP}$=2，
∴AF=$\frac{4\sqrt{5}}{3}$，
∴PF=$\sqrt{A{F}^{2}-A{P}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

点评 此题考查了矩形的性质，以及相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，熟练掌握矩形的性质是解本题的关键．