Question

3．如图，已知线段a，b．
（1）按下列要求作图：
①用直尺和圆规作Rt△ABC，使∠C=90°，BC=a，AC=b；
②用直尺和圆规作AB边的中垂线，分别交AC，AB于D，E两点，连结BD．
（2）若∠A=38°，求∠CBD的度数；
（3）若a=3，b=4，求DE的长．

Answer 1

分析 （1）①先任作射线，在射线上截取AC=b，接着过点C作AC的垂线，然后在垂线上截取CB=a，从而得到Rt△ABC；
②利用基本作图（作已知线段的垂直平分线）作出DE；
（2）先根据线段垂直平分线的性质定理得到DA=DB，则∠DBA=∠A=38°，再根据三角形外角性质计算出∠CDB，然后利用互余计算∠CBD的度数；
（3）先利用勾股定理得到AB=5，则AE=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{5}{2}$，再证明Rt△ADE∽Rt△ABC，然后利用相似比求DE的长．

解答 解：（1）①如图，△ABC为所作；
②如图，BD为所作；

（2）∵DE垂直平分AB，
∴DA=DB，
∴∠DBA=∠A=38°，
∴∠CDB=∠DBA+∠A=76°，
∴∠CBD=90°-76°=14°；
（3）在Rt△ABC中，AB=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∴AE=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{5}{2}$，
∵∠EAD=∠CAB，
∴Rt△ADE∽Rt△ABC，
∴DE：BC=AE：AC，即DE：3=$\frac{5}{2}$：4，
∴DE=$\frac{15}{8}$．

点评 本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．利用勾股定理和相似比可解决几何计算问题．