Question

如图，矩形ABCD中，AD=2AB，E、F分别是AD、BC上的点，且线段EF过矩形对角线AC的中点，PF∥AC，则EF：BF的最小值是（　　）

• A、

  2 5

  5

• B、

  2

  5

• C、

  2 5

  25

• D、

  1

  2

Answer 1

考点：矩形的性质

专题：

分析：过点O作OH⊥BC于H，设AB=x，BF=y，然后表示出FH、OH，再利用勾股定理列式求出OF，然后表示出EF，再求出比值，然后利用根的判别式解答即可．

解答：解：如图，过点O作OH⊥BC于H，设AB=x，BF=y，
∵AD=2AB，
∴AD=2x，
∵线段EF过矩形对角线AC的中点，
∴FH=x-y，OH=

1

2

x，
由勾股定理得，OF=

(x-y)2+( 1 2 x)2

，
由矩形的对称性，EF=2

(x-y)2+( 1 2 x)2

，
设EF：BF=m，
则m²=

4(x-y)2+x2

y2

，
整理得，（m²-4）y²+8xy-5x²=0，
△=（8x）²-4（m²-4）×（-5x²）≥0，
解得m²≥

4

5

，
所以，m≥

2 5

5

，
所以，m的最小值是

2 5

5

，
即EF：BF的最小值是

2 5

5

．
故选A．

点评：本题考查了矩形的性质，主要利用了矩形的性质，勾股定理，根的判别式，作辅助线构造出直角三角形并利用根的判别式列出不等式是解题的关键．