Question

2．如图，在?ABCD中，P是对角线BD上任意一点，点E在射线CP上，连接AE，∠CPD=∠BDC+∠BAE．
（1）探究线段PC、PE、AE之间的数量关系，并证明你的结论；
（2）若点P是对角线DB延长线上任意一点（如图2），∠CPD=∠BDC-∠BAE，其它条件不变，（1）中的结论是否还成立？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）过点C作CM∥AF，利用AAS证明△ABF≌△CDM，得出CM=AF，由∠3=∠CMP，得出CM=CP=AF，那么PC=AF=AE+EF=AE+EP；
（2）过点C作CC′∥AE交BD延长线于C′，直线BD与AE交于K．利用AAS证明△ABK≌△CDC′，得出AK=CC′，进而得出AE+PE=CP．

解答 解：（1）PC=PE+AE．理由如下：
过点C作CM∥AF，如图1，
∴∠CMP=∠AFP①，
∴∠CMD=∠AFB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠2=∠4，
∴∠EFP=∠1+∠4，
∵∠CPD=∠BDC+∠BAE，
∴∠3=∠1+∠2，
∴∠EFP=∠3=∠EPF②，
∴EF=EP，
在△ABF和△CDM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CMD=∠AFB}\\{∠2=∠4}\\{AB=CD}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△CDM（AAS），
∴CM=AF，
∴∠3=∠CMP，
∴CM=CP=AF，
∴PC=AF=AE+EF=AE+EP；

（2）（1）中的结论还成立，理由如下：
过点C作CC′∥AE交BD延长线于C′，直线BD与AE交于K，如图2．
在?ABCD中，∵AB∥CD，
∴∠2=∠4．
∵∠4=∠3+∠K，∠2=∠1+∠3，
∴∠K=∠1，
∵∠1=∠EPK，
∴∠K=∠EPK，
∴EK=EP，
∴AK=AE+EK=AE+EP．
∵CC′∥AK，
∴∠K=∠C′=∠1，
∴CP=CC′．
在△ABK与△CDC′中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠K=∠C′}\\{∠ABK=∠CDC′}\\{AB=CD}\end{array}\right.$，
∴△ABK≌△CDC′（AAS），
∴AK=CC′，
∴AE+PE=CP．

点评 本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，等腰三角形、全等三角形的判定与性质，准确作出辅助线是解题的关键．