题目内容
7．
如图，长方形ABCD中，AD=a，DC=b，（a，b为常数），∠CAB=30°，点P是对角线AC的中点，点Q是线段CD上的动点，则AQ+QP的最小值为$\sqrt{3}a$．
分析 根据图形和题意，作点P关于直线CD的对称点P′，然后根据两点之间线段最短，可以解答本题．
解答 
解：作点P关于直线CD的对称点P′，如右图所示，
∵长方形ABCD中，AD=a，DC=b，（a，b为常数），∠CAB=30°，点P是对角线AC的中点，
∴AE=a+0.5a=1.5a，EP′=0.5b，tan30°=$\frac{a}{b}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴b=$\sqrt{3}a$，
∵两点之间线段最短，
∴AQ+QP的最小值就是线段AP′的长度，
∵∠AEP′=90°，EP′=0.5b，AE=1．a，
∴AP′=$\sqrt{（0.5b）^{2}+（1.5a）^{2}}$=$\frac{\sqrt{9{a}^{2}+{b}^{2}}}{2}$=$\frac{\sqrt{9{a}^{2}+3{a}^{2}}}{2}=\frac{\sqrt{12{a}^{2}}}{2}=\frac{2\sqrt{3}a}{2}$=$\sqrt{3}a$，
故答案为：$\sqrt{3}a$．
点评 本题考查轴对称-最短路径问题、矩形的性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用勾股定理和锐角三角函数解答．
练习册系列答案
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17．点A（2，-1）关于x轴对称的点B的坐标为（ ）
| A． | （2，1） | B． | （-2，1） | C． | （2，-1） | D． | （-2，-1） |
18．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A的对边为a，∠B的对边为b，且满足a2-ab-b2=0，则tanA=（ ）
| A． | 1 | B． | $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ | C． | $\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ | D． | $\frac{1±\sqrt{5}}{2}$ |
如图，AB∥CD，AC、BC相交于点E，∠B=52°，求∠C．
如图，已知AB∥CD，∠EAF=$\frac{1}{4}$∠EAB，∠ECF=$\frac{1}{4}$∠ECD，求证：∠AFC=∠$\frac{3}{4}$AEC．
19．下列多项式中，各项系数的积是30的是（ ）
| A． | -x2+5x+6 | B． | 2x2+2x-5 | C． | $\frac{{4{x^2}-20x-3}}{2}$ | D． | -32x+$\frac{2}{3}$y+5z |
