题目内容
8．如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8m，BC=6m，点P由C点出发以2m/s的速度向终点A匀速移动，同时点Q由点B出发以1m/s的速度向终点C匀速移动，当一个点到达终点时另一个点也随之停止移动．（1）经过几秒△PCQ的面积为△ACB的面积的$\frac{1}{3}$？
（2）经过几秒，△PCQ与△ACB相似？
（3）如图2，设CD为△ACB的中线，那么在运动的过程中，PQ与CD有可能互相垂直吗？若有可能，求出运动的时间；若没有可能，请说明理由．
分析 （1）分别表示出线段PC和线段CQ的长后利用S△PCQ=$\frac{1}{3}$S△ABC列出方程求解；
（2）设运动时间为ts，△PCQ与△ACB相似，当△PCQ与△ACB相似时，可知∠CPQ=∠A或∠CPQ=∠B，则有$\frac{CP}{CA}$=$\frac{CQ}{CB}$或$\frac{CP}{CB}$=$\frac{CQ}{CA}$，分别代入可得到关于t的方程，可求得t的值；
（3）设运动时间为ys，PQ与CD互相垂直，根据直角三角形斜边上的中线的性质以及等腰三角形的性质得出∠ACD=∠A，∠BCD=∠B，再证明△PCQ∽△BCA，那么$\frac{PC}{BC}$=$\frac{CQ}{AC}$，依此列出比例式$\frac{2y}{6}$=$\frac{6-y}{8}$，解方程即可．
解答 解：（1）设经过x秒△PCQ的面积为△ACB的面积的$\frac{1}{3}$，
由题意得：PC=2xm，CQ=（6-x）m，
则$\frac{1}{2}$×2x（6-x）=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×8×6，
解得：x=2或x=4．
故经过2秒或4秒，△PCQ的面积为△ACB的面积的$\frac{1}{3}$；
（2）设运动时间为ts，△PCQ与△ACB相似．
当△PCQ与△ACB相似时，则有$\frac{CP}{CA}$=$\frac{CQ}{CB}$或$\frac{CP}{CB}$=$\frac{CQ}{CA}$，
所以$\frac{2t}{8}$=$\frac{6-t}{6}$，或$\frac{2t}{6}$=$\frac{6-t}{8}$，
解得t=$\frac{12}{5}$，或t=$\frac{18}{11}$．
因此，经过$\frac{12}{5}$秒或$\frac{18}{11}$秒，△OCQ与△ACB相似；
（ 3）有可能．
由勾股定理得AB=10．
∵CD为△ACB的中线，
∴∠ACD=∠A，∠BCD=∠B，
又PQ⊥CD，
∴∠CPQ=∠B，
∴△PCQ∽△BCA，
∴$\frac{PC}{BC}$=$\frac{CQ}{AC}$，$\frac{2y}{6}$=$\frac{6-y}{8}$，
解得y=$\frac{18}{11}$．
因此，经过$\frac{18}{11}$秒，PQ⊥CD．
点评 本题考查了一元二次方程的应用，相似三角形的判定与性质，三角形的面积，勾股定理，直角三角形、等腰三角形的性质，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
如图，△ABC是等边三角形，D为CB延长线上一点，E为BC延长线上点，且∠DAE=120°
如图，将三角形ABC先向左平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度得到三角形A1B1C1．
a、b在数轴上所表示的点如图所示，化简：$\sqrt{{a}^{2}b}$=-a$\sqrt{b}$．
如图，在五边形ABCDE中，∠BAE=136°，∠B=∠E=90°，在BC，DE上分别找一点M，N，使得△AMN的周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为88°．| A． | 在∠AOB内 | B． | 在∠AOB外 | C． | 在∠AOB的内或外 | D． | 有可能与OA重合 |