Question

如图，AB是⊙O的直径，M是线段OA上一点，过M 作AB的垂线交弦AC于点N，交BC的延长线于点E，直线CF交EN于点F，且∠ECF=∠E。
（1）证明CF是⊙O的切线；
（2）设⊙O的半径为1，且AC=CE=，求AM的长。

Answer 1

解：（1）如图，连接OC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∵EM⊥BC， ∴∠EMB=90°， ∴∠A=∠E， ∵∠ACO=∠A，∠ECF=∠E， ∴∠ACO=∠ECF， ∴∠FCO=∠FCA+∠ACO=∠FCA+∠ECF=∠ECA=90°， ∴CF为⊙O的切线。
（2）在Rt△ACB中，∠ACB=90°， ∵AB=2，AC= ∴BC=1，∠A=30°， ∵AC=CE=， ∴ BE=BC+CE=1+  在Rt△BEM中，∠BME=90° ∵∠E=∠A=30°， ∴MB=BE=， ∴AM=AB-MB=2-=。