Question

17．已知正三角形的边长为2$\sqrt{3}$，求它的边心距、半径、周长和面积．

Answer 1

分析 先求出边长为6的正三角形的周长，再由三角函数求出边心距，得出外接圆的半径，再求出其面积即可．

解答 解：如图所示：
连接OA、OB、OC，过O作OD⊥BC于D，
∵△ABC是边长为2$\sqrt{3}$的等边三角形，
∴AB=AC=BC=2$\sqrt{3}$，∠ABC=60°，
∴△ABC的周长=3AB=6$\sqrt{3}$，∠OBD=30°，
∵OD⊥BC，
∴∠ODB=90°，BD=CD=$\frac{1}{2}$BC=$\sqrt{3}$，
∴OD=BD•tan30°=$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=1，
∴OB=2OD=2，
∴AD=OA+OD=3，
∴△ABC的面积=$\frac{1}{2}$BC•AD=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×3=3$\sqrt{3}$，
即正三角形的周长为6$\sqrt{3}$，边心距为1，半径为2，面积为3$\sqrt{3}$．

点评 本题考查的是正三角形的性质、边心距、半径、周长和面积的计算；熟练掌握正三角形的性质，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．