Question

6．如图所示，已知E为?ABCD中D边延长线上一点，且CE=DC，连AE分别交BC、BD于F、G，连AC交BD于O点，连OF．
（1）求证：AF=EF；
（2）求证：DE=4OF．

Answer 1

分析 （1）由四边形ABCD是平行四边形，可得CB∥AD，根据平行线分线段成比例定理，可证得CE：DC=EF：AF，然后由CE=DC，证得结论；
（2）由四边形ABCD是平行四边形，AF=EF，易证得OF是△ACE的中位线，继而证得△BOF∽△BDC，然后由相似三角形的对应边成比例，证得CD=2OF，继而证得结论．

解答 证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CF∥AD，
∴CE：DC=EF：AF，
∵CE=DC，
∴AF=EF；

（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，OA=OC，
∵AF=EF，
∴OF=$\frac{1}{2}$CE，OF∥CD，
∴△BOF∽△BDC，
∴OF：CD=OB：DB=1：2，
∴OF=$\frac{1}{2}$CD，
∴DE=CE+CD=4OF．

点评 此题考查了平行四边形的性质、三角形中位线的性质以及相似三角形的判定与性质．注意证得OF是△ACE与△BCD的中位线是关键．