Question

3．某次初中数学竞赛试题中，有16道5分题和10道7分题，满分为150分．批改时每道题若答对得满分，答错得0分，没有其它分值．
（1）如果晓敏同学答对了m道7分题和n道5分题，恰好得分为70分，列出关于m、n的方程，并写出这个方程符合实际意义的所有的解．
（2）假设某同学这份竞赛试卷的得分为k（0≤k≤150），那么k的值有多少种不同大小？请直接写出答案．

Answer 1

分析 （1）根据总分=分值×答对题目数即可得出7m+5n=70，即m=10-$\frac{5}{7}$n，再根据m、n均为非负整数，即可得出二元一次方程的解；
（2）设答对x道5分题和答对y道7分题时分数相等，即5x=7y，解之即可得出x、y的值，利用k=16×10-重复种数即可求出结论．

解答 解：（1）根据题意得：7m+5n=70，
∴m=10-$\frac{5}{7}$n．
∵m、n均为非负整数，
∴n=0时，m=10；n=7时，m=5；n=14时，m=0，
∴这个方程符合实际意义的所有的解为：$\left\{\begin{array}{l}{m=0}\\{n=14}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{m=5}\\{n=7}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{m=10}\\{n=0}\end{array}\right.$；

（2）设答对x道5分题和答对y道7分题时分数相等，
则5x=7y，
当x=7时，y=5；当x=14时，y=10．
∴当y=5时，重复的分数有16-7+1=10（种）；当x=7时，重复的分数有10-5=5（种）；当y=10时，重复的分数有16-7+1+16-14+1=13（种）；当x=14时，重复的分数有10-5+10-10=5（种）；
∴16×10-10-5-13-5=127（种）．
∴k的值有127种不同大小．

点评 本题考查了二元一次方程的应用以及排列与组合问题，解题的关键是：（1）根据m、n的取值范围结合7m+5n=70找出所以可能解；（2）利用排列和组合的知识找出分值相等的重复次数．