Question

如图,在矩形ABCD中,AB=6cm,AD=8cm,点P从点A出发沿AD向点D匀速运动,速度是1cm/s,过点P作PE∥AC交DC于点E.同时,点Q从点C出发沿CB方向,在射线CB上匀速运动,速度是2cm/s,连接PQ,QE,PQ与AC交与点F,设运动时间为t（s）（0＜t＜8）．

（1）当t为何值时,四边形PFCE是平行四边形；

（2）设△PQE的面积为s（cm²），求s与t之间的函数关系式；

（3）是否存在某一时刻t,使得△PQE的面积为矩形ABCD面积的；

（4）是否存在某一时刻t,使得点E在线段PQ的垂直平分线上．

Answer 1

解：（1）PD=8﹣t，CQ=2t，根据题意得：8﹣t=2t，解得：t=；

（2）S_{四边形PDCQ}=（PD+CQ）•CD=×6（8﹣t+2t）=3（8+t）=3t+24，

∵PE∥AC，∴，∴=，则DE=﹣t+6，则EC=6﹣（﹣t+6）=t，

则S_△PDE=PD•DE=（8﹣t）•（﹣t+6），S_△CQE=CQ•EC=×2t•t=t²，

则s=3t+24﹣（8﹣t）•（﹣t+6）﹣t²，即s=﹣t²+3t；

（3）S_矩形ABCD=6×8=48，根据由题意得：﹣ t²+3t=×48，解得：t=2或6；

（4）在直角△PDE中，PD²=（8﹣t）²+（﹣t+6）²，

在直角△COQ中，QE²=（2t）²+（t）²，

当点E在线段PQ的垂直平分线上时，PD²=QE²，

则（8﹣t）²+（﹣t+6）²=（2t）²+（t）²，

解得：t=或（舍去）．则t=．