Question

已知如图，AD∥BC，E为DC上一点，∠1=∠2，∠3=∠4．求证：CE=ED．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：由AD与BC平行，得到一对同旁内角互补，根据已知角相等，等量代换得到∠2+∠3为90°，进而确定出∠AEB为直角，在AB上取D，使AF=AD，利用SAS得到三角形AED与三角形AEF全等，利用全等三角形对应边相等，对应角相等得到DE=FE，∠AED=∠AEF，利用等角的余角相等得到∠CEB=∠FEB，再由∠3=∠4，及夹边相等，利用ASA得到三角形BCE与三角形BFE全等，利用全等三角形对应边相等得到EF=CE，等量代换即可得证．

解答：证明：∵AD∥BC，
∴∠DAB+∠CBA=90°，
∵∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠2+∠3=

1

2

（∠DAB+∠CBA）=90°，
∴∠AEB=90°，
在AB上取一点F，使得AF=AD，
在△ADE和△AFE中，

AF=AD ∠1=∠2 AE=AE

，
∴△ADE≌△AFE（SAS），
∴DE=FE，∠AED=∠AEF，
∵∠AEF+∠BEF=90°=∠AED+∠CEB，
∴∠BEF=∠BEC，
在△BEF和△BEC中，

∠BEF=∠BEC BE=BE ∠3=∠4

，
∴△NEF≌△BEC（ASA），
∴FE=CE，
则FE=CE=DE．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．