Question

【题目】如图，为的直径，是的弦，是弧的中点，弦于点，交于点，过点作的切线，交延长线于点，连接．

（1）求证：；

（2）若，，求的长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）．

【解析】

（1）连接OC，如图，先利用切线的性质得OC⊥PC，再利用垂径定理得到OC⊥AE，所以PC∥AE；

（2）设OC与AE交于点H，如图，利用垂径定理得到，根据圆周角定理得，则AF=CF=5，在中利用三角函数的定义可计算出，，进而证明，得到AH=CD=8，所以AE=2AH=16，然后证明，于是利用相似比可计算出BE．

证明：（1）连接，如图，

∵为的切线，

∴，

∵是弧的中点，

∴，

∴；

（2）设与交于点，如图，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

在中，

∵，

∴，，

在和中

，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，即，

∴，

故答案为：12．