Question

已知抛物线y=ax²+bx与x轴交于点B （-4，0），顶点为（A-2，-4）；连接AB，把AB所在直线沿y轴上下平移的直线设为l：y=kx+m．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当直线l经过原点时，试在l上找一点P，使四边形BAOP为直角梯形，求出点P坐标；
（3）直线l在上下平移过程中是否存在x的取值范围，使y=ax²+bx与y=kx+m都随x的增大而减小？若存在请求出其范围，若不存在请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）设抛物线顶点式解析式y=a（x+2）²-4，把点B的坐标代入求出a，即可得解；
（2）设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），利用待定系数法求一次函数解析式求出直线AB的解析式，再根据平移得到平移后的直线解析式，过点P作BP⊥OP于P，根据直线解析式设点P（a，-2a），利用勾股定理表示出列出方程求解即可；
（3）根据一次函数的增减性和二次函数的增减性解答即可．

解答：解：（1）设y=a（x+2）²-4，
∵过点B（-4，0），
∴（-4+2）²-4=0，
解得a=1，
∴y=（x+2）²-4；

（2）如图，∵直线y=kx+m经过点A（-2，-4），B（-4，0），
∴

-2k+m=-4 -4k+m=0

，
解得

k=-2 m=-8

，
∴直线AB的解析式为y=-2x-8，
∴平移后过原点的直线为y=-2x，
∵四边形BAOP为直角梯形，
∴过点B作BP⊥OP，设P（a，-2a），
∵BP⊥OP，
∴OP²+BP²=BO²，
∴（a²+4a²）+（a+4）²+4a²=16，
整理得，5a²+4a=0，
解得a₁=-

4

5

，a₂=0（舍去），
所以，点P的坐标为（-

4

5

，

8

5

）；

（3）∵y=kx+m在平移过程中k=-2始终保持不变，
∴当x为任意实数时，y都随x的增大而减小，
∵y=ax²+bx即y=（x+2）²-4，当x≤-2时，y都随x的增大而减小，
∴当x≤-2时，y=kx+m与y=ax²+bx的y值都随x的增大而减小．

点评：本题是二次函数综合题，主要利用了待定系数法求函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，勾股定理，二次函数与一次函数的增减性，难点在于（2）利用勾股定理列出方程，作出图形更形象直观．