Question

【题目】如图，直线与x轴交于点与y轴交于点C，抛物线经过点B，C，与x轴的另一个交点为A．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P是直线下方抛物线上一动点，求四边形面积最大时点P的坐标；

（3）若M是抛物线上一点，且，请直接写出点M的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y=；（2）P(2，－3)；（3）点P为(3，－2)或(，)

【解析】

（1）将点B坐标代入直线，求出c的值，并求得点C的坐标，将点B、C代入抛物线可求得解析式；

（2）因为S四边形ACPB=S△ABC+S△PCB，又因为S△ABC是常数，故四边形面积最大，只需要S△PCB最大即可；

（3）存在2种情况，一种是点M在CB下方，根据平行可得点M的坐标；另一种是点M在CB上方，如图，利用NB=NC来求解．

（1）∵直线过点B(4，0)

∴0=，解得：c=－2

∴直线的解析式为：y=

∵点C是直线与y轴的交点

∴C(0，－2)

将B(4，0)、C(0，－2)代入抛物线得：

解得：c=－2，b=

∴抛物线的解析式为：y=；

（2）如下图，过点P作x轴的垂线，交CB于点H，交x轴于点G，连接CP、PB

∵S四边形ACPB=S△ABC+S△PCB，

又∵S△ABC是常数，

∴要想四边形面积最大，只需要S△PCB最大

设点P(x，)

由图形可知，S△CPB=S△CPH+S△PHB

在△CPH中，以HP为底，则点C到HP的距离为高，即OG的长

在△PHB中，以HP为底，则点B到HP的距离为高，即GB的长

∴

∵A(－1,0)，B(4,0),∴OB=4

∵点P(x，)

∴点H(x，)

∴HP=+2x

∴=

∵－1＜0，∴有最大值，此时，x=

则点P(2，－3)；

（3）情况一：如下图，点M在CB下方

∵∠ABC=∠BCM

∴AB∥CM

∴点M的纵坐标与点C的纵坐标相等

∴点M的纵坐标为－2，代入抛物线得：

－2=

解得：x=0(舍)或x=3

∴点P(3，－2)；

情况二：如下图，点M早CB上方，连接CM交x轴于点N

∵∠MCB=∠ABC

∴△NCB是等腰三角形，NB=NC，∴

设点M(m，)

∵点C(0，－2)

∴MC所对应的直线解析式为：y=

令y=0，解得x=

∴N(，0)

∴NB=4－，

∵点C(0，－2)，点N(，0)

∴+

∴+

解得：m=

∴P(，)

综上得：点P为(3，－2)或(，)．