Question

5．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60cm，∠A=60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是t秒（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．
（1）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；
（2）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）能．首先证明四边形AEFD为平行四边形，当AE=AD时，四边形AEFD为菱形，即60-4t=2t，解方程即可解决问题；
（2）分三种情形讨论即可．

解答 （1）证明：能．
理由如下：在△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，DC=4t，
∴DF=2t，
又∵AE=2t，
∴AE=DF，
∵AB⊥BC，DF⊥BC，
∴AE∥DF，
又∵AE=DF，
∴四边形AEFD为平行四边形，
当AE=AD时，四边形AEFD为菱形，
即60-4t=2t，解得t=10．
∴当t=10秒时，四边形AEFD为菱形．     

（2）①当∠DEF=90°时，由（1）知四边形AEFD为平行四边形，
∴EF∥AD，
∴∠ADE=∠DEF=90°，
∵∠A=60°，
∴∠AED=30°，
∴AD=$\frac{1}{2}$AE=t，
又AD=60-4t，即60-4t=t，解得t=12；
②当∠EDF=90°时，四边形EBFD为矩形，在Rt△AED中∠A=60°，则∠ADE=30°，
∴AD=2AE，即60-4t=4t，解得t=$\frac{15}{2}$．
③若∠EFD=90°，则E与B重合，D与A重合，此种情况不存在．
综上所述，当t=$\frac{15}{2}$或12秒时，△DEF为直角三角形．

点评 本题考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定、直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．