Question

16．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=45°，D为边AC的一动点（不与点A、C重合），过点D作DG∥BC，交AB于点G，AF⊥BD，AD交BD的延长线于点F，AF的延长线与BC的延长线交于点E．
（1）请写出与AD相等的线段，AD=DG；
（2）求证：DG+CE=BC；
（3）点D在边AC上移动时，∠BFC的大小是否发生变化？若变化，请求出它的变化范围；若不变，请求出它的度数．

Answer 1

分析 （1）先DG∥BC得出∠AGD=∠BAC=45°，即可得出结论；
（2）先用同角或等角的余角相等判断出∠CBD=∠CAE，进而得出，△BCD≌△ACE，即CD=CE最后用等量代换即可得出结论；
（3）先求出∠CED=45°，再由∠ACE=∠BFE=90°，得出点C，D，F，E四点共圆，用同弧所对的圆周角相等即可得出结论．

解答 解：（1）∵∠ACB=90°，∠ABC=45°，
∴AC=BC，
∵DG∥BC，
∴∠AGD=∠ABC=45°，
∴AD=DG，
故答案为DG；
（2）∵∠BCD=90°，
∴∠CBD+∠BDC=90°，
∵∠ADF=∠BDC，
∴∠CBD+∠ADF=90°，
∵AF⊥BD，
∴∠ADF+∠CAE=90°，
∴∠CBD=∠CAE，
在△BCD和△ACE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CBD=∠CAE}\\{BC=AC}\\{∠BCD=∠ACE=90°}\end{array}\right.$，
∴△BCD≌△ACE，
∴CD=CE，
由（1）知，DG=AD，
∴DG+CE=AD+CD=AC=BC；
（3）∠BFC的大小不发生变化，是45°，
理由：如图，连接DE，以DE为直径作圆．

由（2）知，△BCD≌△ACE，
∴CD=CE，
∵∠DCE=90°，
∴∠CED=45°，
∵∠ACE=∠BFE=90°，
∴点C，D，F，E四点共圆，
∴∠DFC=∠CED=45°，
即：∠BFC=45°，是定值．

点评 此题是三角形综合题，主要考查了平行线的性质，三角形的内角和，全等三角形的判定和性质，四点共圆，解本题的关键是判断出△BCD≌△ACE．是一道比较简单的中考常考题．