Question

4．在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为A（2，-1），且过点B（3，0）．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）将该二次函数图象向左平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得二次函数的解析式及其与x轴的另一个交点的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线的顶点坐标设出抛物线的解析式为：y=a（x-2）²-1，再把（3，0）代入，求出a的值，即可得出二次函数的解析式为y=x²-4x+3；
（2）先确定二次函数图象与x轴的两个交点坐标（1，0）和（3，0），则把点（1，0）平移到原点，即二次函数图象向左平移1个单位后经过坐标原点，根据左加右减的平移规律写出平移后二次函数的解析式，同时得到（3，0）平移后点的坐标为（2，0）；或者把点（3，0）平移到原点，即二次函数图象向左平移3个单位后经过坐标原点，根据左加右减的平移规律写出平移后二次函数的解析式，同时得到（1，0）平移后点的坐标为（-2，0）．

解答 解：（1）∵二次函数图象的顶点为A（2，-1），
∴设二次函数解析式为y=a（x-2）²-1，
把点B（3，0）代入二次函数解析式，得：
0=a-1，解得a=1，
∴二次函数解析式为y=（x-2）²-1，即y=x²-4x+3；

（2）令y=0，则x²-4x+3=0，解得x₁=1，x₂=3，
所以二次函数图象与x轴的两个交点坐标分别为（1，0）和（3，0）．
所以二次函数图象向左平移1个单位后经过坐标原点，平移后二次函数的解析式为y=（x-2+1）²-1，即y=x²-2x，平移后所得图象与x轴的另一个交点坐标为（2，0）；
或者二次函数图象向左平移3个单位后经过坐标原点，平移后二次函数的解析式为y=（x-2+3）²-1，即y=x²+2x，平移后所得图象与x轴的另一个交点坐标为（-2，0）．

点评 本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数图象与几何变换以及二次函数图象与x轴交点坐标．