题目内容

在平面直角坐标系xOy中，A、B为反比例函数 $数学公式$ （x＞0）的图象上两点，A点的横坐标与B点的纵坐标均为1，将 $数学公式$ （x＞0）的图象绕原点O顺时针旋转90°，A点的对应点为A′，B点的对应点为B′．
（1）求旋转后的图象解析式；
（2）求A′、B′点的坐标；
（3）连接AB′、动点M从A点出发沿线段AB'以每秒1个单位长度的速度向终点B′运动；动点N同时从B′点出发沿线段B′A′以每秒1个单位长度的速度向终点A′运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设运动的时间为t秒，试探究：是否存在使△MNB'为等腰直角三角形的t值，若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．

解：（1）∵A为反比例函数 $\text{[math]}$ （x＞0）的图象上的点，A点的横坐标为1，
∴A点坐标为（1，4）．
分别过A、A′作AM⊥y轴于M，A′N⊥x轴于N，连接OA，OA′．
∵将 $\text{[math]}$ （x＞0）的图象绕原点O顺时针旋转90°，A点的对应点为A'，
∴∠AOA′=90°，OA=OA′．
在△OAM与△OA′N中，∠AOM=∠A′ON=90°-∠AON，∠AMO=∠A′NO=90°，OA=OA′，
∴△OAM≌△OA′N，
∴OM=ON=4，AM=A′N=1，
∴A′的坐标为（4，-1），
∴旋转后的图象解析式为y=- $\text{[math]}$ ；

（2）∵B为反比例函数 $\text{[math]}$ （x＞0）的图象上两点，B点的纵坐标为1，

∴B（4，1），
又∵将 $\text{[math]}$ （x＞0）的图象绕原点O顺时针旋转90°，A点的对应点为A'，B点的对应点为B'，
上问求出A点坐标（1，4）的对应点A′的坐标为（4，-1），
同理求出B点坐标（4，1）的对应点B′的坐标为（1，-4）；

（3）设直线A′B′的解析式为y=kx+b，
则4k+b=-1，k+b=-4，
解得k=1，b=-5，
∴y=x-5，
∴∠A′B′A=45°．
如果△MNB'为等腰直角三角形，那么分两种情况：①∠B′NM=90°；②∠B′MN=90°．

∵AM=B′N=t，∴B′M=AB′-AM=8-t．
①当∠B′NM=90°时，B′M= $\text{[math]}$ B′N，
∴8-t= $\text{[math]}$ t，解得t=8 $\text{[math]}$ -8；
②当∠B′MN=90°时，B′N= $\text{[math]}$ B′M，
∴t= $\text{[math]}$ （8-t），解得t=16-8 $\text{[math]}$ ．
∵A′B′= $\text{[math]}$ =3 $\text{[math]}$ ，AB′=8，
∴0≤t≤3 $\text{[math]}$ ．
又∵16-8 $\text{[math]}$ ＞3 $\text{[math]}$ ，
∴t=16-8 $\text{[math]}$ 舍去．
故当t=8 $\text{[math]}$ -8时，△MNB'为等腰直角三角形．
分析：（1）首先把x=1代入反比例函数 $\text{[math]}$ （x＞0）的解析式，求出对应的y值，得到A点坐标，然后由旋转的性质得出∠AOA′=90°，OA=OA′，如果分别过A、A′作AM⊥y轴于M，A′N⊥x轴于N，连接OA，OA′，易证△OAM≌△OA′N，得到A′的坐标，从而求出旋转后的图象解析式；
（2）上问已经求出A′的坐标，同样求出点B′的坐标；
（3）首先运用待定系数法求出直线A′B′的解析式，由斜率k的值可知∠A′B′A=45°．然后假设存在使△MNB'为等腰直角三角形的t值，那么分两种情况讨论：①∠B′NM=90°；②∠B′MN=90°．针对每一种情况，都可以利用等腰直角三角形中斜边是直角边的 $\text{[math]}$ 倍列出方程，从而求出结果．
点评：此题综合考查了反比例函数、等腰直角三角形、旋转的性质等多个知识点．要注意（3）首先需根据已知条件确定哪些角可能是直角，要考虑到所有的情况，不要漏解．此题难度稍大，综合性比较强，注意对各个知识点的灵活应用．