Question

我们知道平行四边形那有很多性质，现在如果我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折，会发现这其中还有更多的结论
【发现与证明】
在?ABCD中，AB≠BC，将△ABC沿AC翻折至△AB′C，连接B′D．
结论1：B′D∥AC；
结论2：△AB′C与?ABCD重叠部分的图形是等腰三角形．
…
请利用图1证明结论1或结论2．
【应用与探究】
在?ABCD中，∠B=30°，将△ABC沿AC翻折至△AB′C，连接B′D．
（1）如图1，若AB=

3

，∠AB′D=75°，则∠ACB=

 

，BC=

 

；
（2）如图2，AB=2

3

，BC=1，AB′与CD相交于点E，求△AEC的面积；
（3）已知AB=2

3

，当BC的长为多少时，△AB′D是直角三角形？

Answer 1

考点：几何变换综合题

专题：

分析：【发现与证明】
通过三角形全等即可求得∠ACB′=∠CAD，即可得到结论2；进而根据等腰三角形的性质证得∠ADB′=∠DAC，根据平行线的判定即可证得结论1；
【应用与探究】
（1）根据对折的性质求得∠AB′C=30°，从而求得∠CB′D=45°，由于B′D∥AC，得出∠ACB′=∠CB′D=45°，进而即可求得∠ACB=45°；作AG⊥BC于G，根据解直角三角形即可求得BC；
（2）作CG⊥AB′于G，通过解直角三角形求得CG=

1

2

，B′G=

3

2

，进而求得AG=2

3

-

3

2

=

3 3

2

，设AE=CE=x，则EG=

3 3

2

-x，根据勾股定理即可求得x值，即AE的值，然后根据三角形的面积公式即可求得△AEC的面积；
（3）先证得四边形ACB′D是等腰梯形，根据等腰梯形的性质得出∠AB′C=∠CDA=30°，∠B′AD=∠DCB′=90°，设∠ADB′=∠CB′D=y，则∠AB′D=y-30°，根据∠AB′D+∠ADB′=90°，得出y-30°+y=90°，解得y=60°，进而求得∠AB′D=30°，通过解直角三角形即可求得BC．

解答：解：【发现与证明】
在?ABCD中，AB≠BC，将△ABC沿AC翻折至△AB′C，连接B′D．
如图1，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，BC=AD，∠B=∠ADC，
∵将△ABC沿AC翻折至△AB′C，
∴AB′=AB，B′C=BC，∠AB′C=∠B，
∴AB′=CD，B′C=AD，∠AB′C=∠ADC，
在△AB′C和△CAD中，

AB′=CD ∠AB′C=∠ADC B′C=AD

，
∴△AB′C≌△CAD（SAS），
∴∠ACB′=∠CAD，
设AD、B′C相交于E，
∴AE=CE，
∴△ACE是等腰三角形，
即△AB′C与?ABCD重叠部分的图形是等腰三角形；
∵B′C=AD，AE=CE，
∴B′E=DE，
∴∠CB′D=∠ADB′，
∵∠AEC=∠B′ED，∠ACB′=∠CAD，
∴∠ADB′=∠DAC，
∴B′D∥AC；
【应用与探究】
（1）如图1，∵在?ABCD中，∠B=30°，将△ABC沿AC翻折至△AB′C，
∴∠AB′C=30°，
∵∠AB′D=75°，
∴∠CB′D=45°，
∵B′D∥AC，
∴∠ACB′=∠CB′D=45°，
∵∠ACB=∠ACB′，
∴∠ACB=45°；
作AG⊥BC于G，
∴AG=CG，
∵∠B=30°，
∴AG=

1

2

AB=

1

2

×

3

=

3

2

，
∴CG=

3

2

，BG=

AB2-AG2

=

3

2

，
∴BC=BG+CG=

3+ 3

2

，
故答案为：45°，

3+ 3

2

；

（2）如图2，
作CG⊥AB′于G，
∵∠B=30°，
∴∠AB′C=30°，
∴CG=

1

2

B′C=

1

2

BC=

1

2

，B′G=

3

2

B′C=

3

2

BC=

3

2

，
∵AB′=AB=2

3

，
∴AG=2

3

-

3

2

=

3 3

2

，
设AE=CE=x，则EG=

3 3

2

-x，
∵CG²+EG²=CE²，
∴（

1

2

）²+（

3 3

2

-x）²=x²，解得x=

7 3

9

，
∴AE=

7 3

9

，
∴△AEC的面积=

1

2

AE•CG=

1

2

×

7 3

9

×

1

2

=

7 3

36

；

（3）如图2，∵AD=BC，BC=B′C，
∴AD=B′C，
∵AC∥B′D，
∴四边形ACB′D是等腰梯形，
∵∠B=30°，
∴∠AB′C=∠CDA=30°，
∵△AB′D是直角三角形，
当∠B′AD=90°，AB＞BC时，
设∠ADB′=∠CB′D=y，
∴∠AB′D=y-30°，
∵∠AB′D+∠ADB′=90°，
∴y-30°+y=90°，解得y=60°，
∴∠AB′D=y-30°=30°，
∵AB′=AB=2

3

，
∴AD=

3

3

×2

3

=2，
∴BC=2，
当∠ADB′=90°，AB＞BC时，如图3，

∵AD=BC，BC=B′C，
∴AD=B′C，
∵AC∥B′D，
∴四边形ACB′D是等腰梯形，
∵∠ADB′=90°，
∴四边形ACB′D是矩形，
∴∠ACB′=90°，
∴∠ACB=90°，
∵∠B=30°，AB=2

3

，
∴BC=

3

2

AB=

3

2

×2

3

=3；
当∠B′AD=90°AB＜BC时，如图4，

∵AD=BC，BC=B′C，
∴AD=B′C，
∵AC∥B′D，∠B′AD=90°，
∴∠B′GC=90°，
∵∠B=30°，AB=2

3

，
∴∠AB′C=30°，
∴GC=

1

2

B′C=

1

2

BC，
∴G是BC的中点，
在RT△ABG中，BG=

3

2

AB=

3

2

×2

3

=3，
∴BC=6；
当∠AB′D=90°时，如图5，

∵AD=BC，BC=B′C，
∴AD=B′C，
∵AC∥B′D，
∴四边形ACDB′是等腰梯形，
∵∠AB′D=90°，
∴四边形ACDB′是矩形，
∴∠BAC=90°，
∵∠B=30°，AB=2

3

，
∴BC=AB÷

3

2

=2

3

×

1

3 2

=4；
∴已知当BC的长为2或3或4或6时，△AB′D是直角三角形．

点评：本题主要考查了翻折变换的性质及其应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答．