Question

19．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，DE是△ABD的边AB上的高，且AD=$2\sqrt{5}$，BD=$4\sqrt{5}$．求：DE的长．

Answer 1

分析 先根据勾股定理求出AB，再根据勾股定理的逆定理求出△ABD是直角三角形，然后由三角形的面积即可求出DE的长．

解答 解：∵∠C=90°，AC=8，BC=6，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+{6}^{2}}$=10，
∵AD²+BD²=（2$\sqrt{5}$）²+（4$\sqrt{5}$）²=100=AB²，
∴△ABD是直角三角形，∠ADB=90°，
∴△ABD的面积=$\frac{1}{2}$AB•DE=$\frac{1}{2}$AD•BD，
∴DE=$\frac{AD•BD}{AB}$=$\frac{2\sqrt{5}×4\sqrt{5}}{10}$=4．

点评 本题考查了三角形面积、勾股定理的逆定理、勾股定理；熟练掌握勾股定理，由勾股定理的逆定理证出△ABD是直角三角形是解决问题的关键．