题目内容

已知x≠1,计算(1+x)(1-x)=1-x2,(1-x)(1+x+x2)=1-x3,(1-x)(1+x+x2+x3)=1-x4.
(1)观察以上各式并猜想:(1-x)(1+x+x2+…+xn)=
 
(n为正整数);
(2)根据你的猜想计算:
①(1-2)(1+2+22+23+24+25)=
 
;    
②2+22+23+2n=
 
(n为正整数);
③(x-1)(x99+x98+x97+…+x2+x+1)=
 
;      
(3)通过以上规律请你进行下面的探索:
①(a-b)(a+b)
②(a-b)(a2+ab+b2)
③(a-b)(a3+a2b+ab2+b3)
考点:整式的混合运算
专题:规律型
分析:(1)根据题意易得(1-x)(1+x+x2+…+xn)=1-xn+1;
(2)利用猜想的结论得到①(1-2)(1+2+22+23+24+25)=1-26=1-64=-63;
②先变形2+22+23+24+…+2n=2(1+2+22+23+24+…+2n-1)=-2(1-2)(1+2+22+23+24+…+2n-1),然后利用上述结论写出结果;
③先变形得到(x-1)(x99+x98+x97+…+x2+x+1)=-(1-x)(1+x+x2+…+x99),然后利用上述结论写出结果;
(3)根据规律易得①(a-b)(a+b)=a2-b2;②(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3;③(a-b)(a3+a2b+ab2+b3)=a4-b4.
解答:解:(1)(1-x)(1+x+x2+…+xn)=1-xn+1;
(2)①(1-2)(1+2+22+23+24+25)=1-26=1-64=-63;
②2+22+23+24+…+2n=2(1+2+22+23+24+…+2n-1)=-2(1-2)(1+2+22+23+24+…+2n-1)=-2(1-2n)=2n+1-2;
③(x-1)(x99+x98+x97+…+x2+x+1)=-(1-x)(1+x+x2+…+x99)=-(1-x100)=x100-1;
(3)①(a-b)(a+b)=a2-b2;
②(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3;
③(a-b)(a3+a2b+ab2+b3)=a4-b4.
故答案为1-xn+1;-63;2n+1-2;x100-1.
点评:此题考查了整式的混合运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
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