Question

7．如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=CB，F是AB边上的中点，点D、E分别在边AC、BC边上，且AD=CE，连接DE、DF、EF．
（1）求证：△ADF≌△CEF；
（2）试判断△DFE的形状，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据F是AB中点，可得AF=BF=CF，∠A=∠FCE=45°，即可证明△ADF≌△CEF；
（2）根据△ADF≌△CEF可得DF=EF，∠AFD=∠CFE，即可求得∠DFE=90°，即可解题．

解答 （1）证明：∵F是AB中点，AC=BC，∠ACB=90°，
∴AF=BF=CF，∠A=∠FCE=45°，
在△ADF和△CEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=CF}\\{∠A=∠FCE=45°}\\{AD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△CEF（SAS）；

（2）解：△DEF是等腰直角三角形．理由如下：
∵△ADF≌△CEF，
∴DF=EF，∠AFD=∠CFE，
∵∠AFD+∠CFD=90°，
∴∠CFE+∠CFE=90°，即∠DFE=90°，
∴△DEF是等腰直角三角形．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，本题中求证△ADF≌△CEF是解题的关键．