Question

14．在正方形ABCD中，AB=8，E、F分别为DC、AB上一点，将正方形ABCD沿EF折叠，点A、D分别落在点A′、D′的位置．（1）若点A′恰好落在BC上．
①在图①中，利用直尺和圆规确定点F的位置（保留作图痕迹，不写作法）；
②连接AA′，已知DE=1，求AA′的长度．
（2）如图②，EF经过正方形ABCD的对称中心O，连接A′C，若DE=1，则A′C的长度是$\frac{8}{5}$．

Answer 1

分析 （1）①如图①中，a、以E为圆心．，EA为半径画弧交BC于A′，连接EA、EA′．b、作∠AEA′的平分线EK交AB于F．点F即为所求；
②分别求出AE、A′E、CA′、A′B，在Rt△ABA′中利用勾股定理即可解决问题；
（2）如图②中，连接AC、BD与EF交于点O，作EM⊥BD于M′，连接OA′，AA′交EF于N．求出Rt△EMO的三边，由△AA′C∽△OME，可得$\frac{A′C}{EM}$=$\frac{AC}{OE}$，即可解决问题；

解答 解：（1）①如图①中，

a、以E为圆心．，EA为半径画弧交BC于A′，连接EA、EA′．
b、作∠AEA′的平分线EK交AB于F．
点F即为所求．

②∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB=BC=CD=8，∠D=∠C=∠B=90°，
在Rt△ADE中，AE²=AD²+DE²=64+1=65，
在Rt△ECA′中，A′C=$\sqrt{65-49}$=4，
∴A′B=BC-A′C=4，
在Rt△ABA′中，AA′=$\sqrt{A{B}^{2}+BA{′}^{2}}$=$\sqrt{64+16}$=4$\sqrt{5}$．

（2）如图②中，连接AC、BD与EF交于点O，作EM⊥BD于M′，连接OA′，AA′交EF于N．

易知DM=EM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，OD=4$\sqrt{2}$，
∴OM=$\frac{7\sqrt{2}}{2}$，
在Rt△OME中，OE=$\sqrt{O{M}^{2}+E{M}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{7\sqrt{2}}{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}$=5，
∵OA=OA′=OC，
∴∠AA′C=90°，
∵∠DOA=90°，
∴∠EOM+∠AON=90°，
∵∠OAN+∠AON=90°，
∴∠EOM=∠CAA′，∵∠AA′C=∠OME，
∴△AA′C∽△OME，
∴$\frac{A′C}{EM}$=$\frac{AC}{OE}$，
∴$\frac{A′C}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\frac{8\sqrt{2}}{5}$，
∴CA′=$\frac{8}{5}$．
故答案为$\frac{8}{5}$．

点评 本题考查正方形的性质、翻折变换、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题．