题目内容

证明对角线互相垂直的四边形的各边的中点在同一个圆上。
解：∵对角线互相垂直的四边形的各边的中点能组成一个矩形
∴由矩形的性质知，矩形的四个顶点到它的对角线的交点的距离相等，所以对角线互相垂直的四边形的各边的中点在以中点矩形的对角线交点为圆心的同一个圆上。
练习册系列答案
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（2012•西城区模拟）我们在几何的学习中能发现，很多图形的性质定理与判定定理之间有着一定的联系．例如：菱形的性质定理“菱形的对角线互相垂直”和菱形的判定定理“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”就是这样．但是课本中对菱形的另外一个性质“菱形的对角线平分一组对角”却没有给出类似的判定定理，请你利用如图所示图形研究一下这个问题．
要求：如果有类似的判定定理，请写出已知、求证并证明．如果没有，请举出反例．
阅读材料：
如图（1），在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为点O．
求证：S四边形ABCD=
1
2
AC•BD；
证明：∵AC⊥BD，
∴S四边形ABCD=S△ACD+S△ACB=
1
2
AC•OD+
1
2
AC•BO=
1
2
AC（OD+OB）=
1
2
AC•BD
解答下列问题：
（1）上述证明得到的结论可叙述为
对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半
对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半
；
（2）如图2，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，AC⊥BD，且AC=8，则S梯形ABCD=
32
32
；
（3）如图3，在菱形ABCD中，AB=5，AC=8，则S菱形ABCD=
24
24
．

我们在几何的学习中能发现，很多图形的性质定理与判定定理之间有着一定的联系．例如：菱形的性质定理“菱形的对角线互相垂直”和菱形的判定定理“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”就是这样．但是课本中对菱形的另外一个性质“菱形的对角线平分一组对角”却没有给出类似的判定定理，请你利用如图所示图形研究一下这个问题．
要求：如果有类似的判定定理，请写出已知、求证并证明．如果没有，请举出反例．

 对角线互相垂直的四边形的面积等于它的两条对角线长的积的一半。下面我们证明这个结论。

    已知：四边形ABCD中，对角线于E，如图。

    求证：

     

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