Question

阅读材料：
如图（1），在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为点O．
求证：S_{四边形ABCD}=

1

2

AC•BD；
证明：∵AC⊥BD，
∴S_{四边形ABCD}=S_△ACD+S_△ACB=

1

2

AC•OD+

1

2

AC•BO=

1

2

AC（OD+OB）=

1

2

AC•BD
解答下列问题：
（1）上述证明得到的结论可叙述为

对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半

；
（2）如图2，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，AC⊥BD，且AC=8，则S_梯形ABCD=

32

；
（3）如图3，在菱形ABCD中，AB=5，AC=8，则S_菱形ABCD=

24

．

Answer 1

分析：（1）根据题给材料S_{四边形ABCD}=

1

2

AC•BD，即可写出答案；
（2）根据等腰梯形的性质可知AC=BD，再利用（1）中的结论进行求解；
（3）根据菱形的对角线互相垂直平分，先根据勾股定理求出BO的长，继而得出BD的长，再利用（1）中的结论求解．

解答：解：（1）根据题意得：对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半．

（2）∵AB∥CD，AD=BC，
∴AC=BD=8，
∴S_梯形ABCD=

1

2

×AC×BD=

1

2

×8×8=32…（4分）

（3）∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，AO=OC，BO=DO，
在Rt△AOB中，AO=4，AB=5，根据勾股定理得：BO=3，
∴BD=6，
∴S_菱形ABCD=，

1

2

×AC×BD=

1

2

×6×8=24…（6分）
故答案为：对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半；32，24．

点评：本题考查梯形的知识，同时用到了等腰梯形的性质、菱形的性质及勾股定理的知识，注意这些知识的熟练掌握及灵活运用，难度一般．