Question

18．观察下列等式：$\frac{1}{1×2}=1-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2×3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3×4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$，
将以上三个等式两边分别相加得：$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}$=1-$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$=1-$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$．
（1）猜想并写出：$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$．      
（2）直接写出下列各式的计算结果：
①$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{2015×2016}$=$\frac{2015}{2016}$；   
②$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+$…+$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{n}{n+1}$；         
（3）探究并计算：$\frac{1}{2×4}+\frac{1}{4×6}+\frac{1}{6×8}+$…+$\frac{1}{2014×2016}$．

Answer 1

分析 （1）根据题中给出的例子即可得出结论；
（2）①②根据（1）中的猜想进行计算即可；
（3）由（1）中的例子找出规律进行计算即可．

解答 解：（1）∵$\frac{1}{1×2}=1-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2×3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3×4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$，
∴$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$．
故答案为：$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$；

（2）①∵由（1）知，$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
∴$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{2015×2016}$=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2015}$-$\frac{1}{2016}$=1-$\frac{1}{2016}$=$\frac{2015}{2016}$．
故答案为：$\frac{2015}{2016}$；
②$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+$…+$\frac{1}{n（n+1）}$
=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$
=1-$\frac{1}{n+1}$
=$\frac{n}{n+1}$．
故答案为：$\frac{n}{n+1}$；

（3）∵$\frac{1}{2×4}$=$\frac{1}{4}$•$\frac{1}{1×2}$，$\frac{1}{4×6}$=$\frac{1}{4}$•$\frac{1}{2×3}$，
∴原式=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+…+$\frac{1}{1007×1008}$）
=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{1007}$-$\frac{1}{1008}$）
=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{1008}$）
=$\frac{1}{4}$×$\frac{1007}{1008}$
=$\frac{1007}{4032}$．

点评 本题考查的是有理数的混合运算，熟知有理数混合运算的法则是解答此题的关键．