Question

如图，在⊙O中，OA、OB是半径，且OA⊥OB，OA=6，点C是AB上异于A、B的动点。过点C作CD⊥OA于点D，作CE⊥OB于点E，连接DE，点G、H在线段DE上，且DG=GH=HE。

（1）求证：四边形OGCH为平行四边形；

（2）①当点C在AB上运动时，在CD、CG、DG中，是否存在长度不变的线段？若存在，请求出该线段的长度；若不存在，请说明理由；

②求CD²+CH²之值。

 

Answer 1

（1）证明：如右图，∵CD⊥OA，CE⊥OB，

     ∴∠ODC=∠OEC=90°

     又∵∠AOB=90°，∴四边形OECD是矩形。……（1分）

     ∴OD=EC，且OD//EC，∴∠ODG=∠CEH

     ∵DG=EH，∴△ODG≌△CEH，

     ∴OG=CH。

     同理可证OH=CG

     ∴四边形OGCH为平行四边形……………………（3分）

   （2）①解：线段DG的长度不变。…………………………………………………（4分）

∵点C是AB上的点，OA=6。∴OC=OA=6

∵四边形OECD是矩形，∴ED=OC=6………………………………………………（5分）

∵DG=GH=HE，∴DG=ED=2………………………………………………………（6分）

②解：如右图，过点H作HF⊥CD于点F，

   ∵EC⊥CD，∴HF//EC

   ∴△DHF∽△DEC， ∴，∴……………………（7分）

   从而CF=CD-FD=CD

   在Rt△CHF中，CH²=HF²+CF²=HF²+CD²

   在Rt△HFD中，HF²=DH²-DF²=CD²………………（9分）

   ∴CH²=CD²+CD²=16-CD²

   ∴……………………………………（11分）