Question

7．已知抛物线y=x²+h与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且OC=AB．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）直线y=2x+b被抛物线截得线段长为2$\sqrt{30}$，求b．

Answer 1

分析 （1）由题意设点B坐标（-$\frac{1}{2}$h，0），把点B坐标代入y=x²+h得到0=$\frac{1}{4}$h²+h，解方程即可解决问题．
（2）设直线y=2x+b与抛物线y=x²-4的交点为E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），由$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}-4}\\{y=2x+b}\end{array}\right.$消去y得到x²-2x-4-b=0，可得x₁+x₂=2，x₁x₂=-4-b，由此推出y₁+y₂=4+2b，y₁y₂=b²-16，所以（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=4b+20，同理可得（y₁-y₂）²=16b+80，根据EF=2$\sqrt{30}$，列出方程即可解决问题．

解答 解：（1）如图由题意，OA=OB，

∵OC=AB，
∴OA=OB=-$\frac{1}{2}$h，
∴点B坐标（-$\frac{1}{2}$h，0），
把点B坐标代入y=x²+h得到，0=$\frac{1}{4}$h²+h，解得h=-4或0（舍弃），
∴抛物线的解析式为y=x²-4．

（2）设直线y=2x+b与抛物线y=x²-4的交点为E（x₁，y₁），F（x₂，y₂）．
由$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}-4}\\{y=2x+b}\end{array}\right.$消去y得到x²-2x-4-b=0，
∴x₁+x₂=2，x₁x₂=-4-b，由此可得y₁+y₂=4+2b，y₁y₂=b²-16，
∴（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=4b+20，同理可得（y₁-y₂）²=16b+80，
∵EF=2$\sqrt{30}$，
∴4b+20+16b+80=120，
∴b=1．

点评 本题考查抛物线与x轴的交点、一次函数、待定系数法、两点之间距离公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，把问题转化为方程组，利用根与系数关系解决问题，属于中考常考题型．