Question

18．如图，抛物线C₁是二次函数y=x²-10x在第四象限的一段图象，它与x轴的交点是O、A₁；将C₁绕点A₁旋转180°后得抛物线C₂；它与x轴的另一交点为A₂；再将抛物线C₂绕A₂点旋转180°后得抛物线C₃，交x轴于点A₃；如此反复进行下去…，若某段抛物线上有一点
P（2016，a），则a=24．

Answer 1

分析 先通过解方程x²-10x=0得到A₁（10，0），则OA₁=10，利用旋转的性质得A₁A₂=A₂A₃=10，由于2010=10×201，则可判断P（2016，a）在抛物线C₂₀₂上，由于抛物线C₂₀₂的开口向下，与x轴的两交点坐标为（2010，2020），则可求出抛物线C₂₀₂的解析式为y=-（x-2010）（x-2020），然后把P（2016，a）代入可计算出a的值．

解答 解：当y=0时，x²-10x=0，解得x₁=10，x₂=0，则A₁（10，0）
所以OA₁=10，
所以A₁A₂=A₂A₃=10，
而2010=10×201，
∴P（2016，a）在抛物线C₂₀₂上，抛物线C₂₀₂的开口向下，与x轴的两交点坐标为（2010，2020），
所以抛物线C₂₀₂的解析式为y=-（x-2010）（x-2020），
当x=2016时，y=-（2016-2010）（2016-2020）=24，即a=24．
故答案为24．

点评 本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．